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农机路径跟踪系统是智能农机装备的关键组成部分,旨在无人干预情况下,最大限度地减少农机与预定轨迹之间误差,实现高精度田间作业,从而提升农业生产效率和质量[1-2]。农机路径跟踪系统稳定性和作业精度主要依赖于路径跟踪控制方法的有效性[3-4]。目前,农机跟踪控制算法主要包括纯追踪算法[5]、模糊控制[6]、预瞄控制[7]、PID控制[8]、滑模控制[9]、线性二次最优控制[10]以及模型预测控制[11]等。
模型预测控制(Model predictive control,MPC)是一种优化控制技术,因其在多变量系统和约束条件处理上的优势,成为农机路径跟踪领域研究热点[9]。但MPC存在计算量大、预测过程易受到外部干扰,以及预测步长、控制步长、权重矩阵等不可微分参数(以下统称“元参数”)调整困难的问题[10]。
MPC运行时间长可能导致控制系统实时性降低,使农机在动态环境中无法及时响应,影响路径跟踪精度和作业效率,文献[11]提出基于预瞄跟随的农机误差模型,通过衰减因子减少MPC计算时间,但该模型可能无法准确反映复杂动态,影响精度,且衰减因子选择可能导致稳定性不足。文献[12]在农机运动学模型基础上,通过线性化与离散化处理,提出基于线性时变模型的路径跟踪预测控制方法。文献[13]提出通过减少MPC控制步数或频率应对曲率和航向突变,以减少计算时间,但对模型准确性要求高,可能导致滞后、精度下降和稳定性降低。
环境噪声、传感器噪声等外部干扰会削弱系统鲁棒性,导致农机偏离预定轨迹。文献[14]提出基于鲁棒模型预测控制的路径跟踪策略,增强了MPC算法对扰动和外力的鲁棒性,但依赖参数设置,可能影响响应速度和稳定性。文献[15]提出效率导向的MPC算法,能应对部分干扰并确保高效运行,但对参数敏感,计算量大。
由于MPC元参数难以调整,系统缺乏自适应能力,导致跟踪精度低。对此,部分学者提出利用改进强化学习、改进元启发式算法及策略改进等方法进行优化改进。文献[16]通过改进强化学习优化MPC元参数并结合事件触发控制,提升了性能和稳定性,但可能导致收敛慢和过拟合。文献[17]使用粒子群优化调整MPC预测时域,适应作业速度和曲率变化,但可能影响响应速度,并面临收敛性问题。文献[18]提出结合模糊控制和在线更新的MPC方法提高精度,但模糊控制规则选择依赖经验,缺乏系统优化。
本文以最小化综合误差为目标,建立农机运动学及误差模型,通过拉丁超立方采样、策略型早停机制和适应度记忆优化北极海鹦算法,利用其自适应调整特性[19],优化模型预测算法的参数。为了减少外部干扰并提升路径平滑程度,建立农机状态多目标优化函数,引入多目标辅助优化算法,利用其高效精确特性[20],求解农机控制量。在此基础上,引入事件触发热启动技术,利用其快速的求解特性[21],构建高效控制框架,以提升控制器实时性。通过仿真试验和实地试验验证本文算法有效性。
农机运动学模型描述了农机位置和速度随时间的变化(图1a)。田间作业中,农机通常以较低速度运行,且侧向力较小,因此可将四轮模型简化为二轮模型(图1b)[22]。以轮式拖拉机为试验对象,选择后轴中心作为农机运动描述点,符合阿克曼转向原理。OXY和AX1Y1分别为惯性坐标系和农机坐标系;A为农机后轴中心;R为转弯半径,m;S为参考路径; B为农机前轴中心;C为农机转弯圆心;φ为农机航向角,rad;v为农机前进速度,m/s;δf为前轮转角,rad;L为轴距,m;Lr为横向偏差,m;φe为航向偏差,rad;φd为参考路径航向角,rad。
图1 农机运动学模型
Fig.1 Vehicle kinematics model
根据图1几何关系可得农机在X轴和Y轴上的速度分量及航向角速度为[23]
(1)
式中 
农机前进速度v在X轴分量,m/s
农机前进速度v在Y轴分量,m/s
航向角速度,rad/s
由模型几何关系可知二轮车前轮转角为
(2)
由式(1)可知,农机运动学模型可以假设由控制量u=(v,δf)和状态量q=(x,y,φ)组成,可描述为
(3)
式中
状态变量时间导数
定义在参考路径S下任意点参考量为ur=(vr,δfr),qr=(xr,yr,φr)。则式(3)于参考位置一般形式为
(4)
根据参考路径上任意点值,利用泰勒展开式对式(4)进行展开,得到线性化表达式
(5)
将式(5)与式(4)相减,再通过前向欧拉法,并转换为向量形式,得
(6)
其中
式中 k——任一时刻,s
T——采样时间,s
为直接体现跟踪误差Lr、航向误差φe与其他变量的关系,可将跟踪误差Lr和航向误差φe表示为[24]
(7)
对上述两个误差进行微分,得到跟踪误差和航向误差动态方程
(8)
式中 
跟踪误差随时间变化的速率,m/s
航向误差随时间变化的速率,rad/s
目标路径切线角随时间变化速率,rad/s
假设农机速度相对较小,参考路径速度可近似忽略,代入式(1),并简化计算可得
(9)
MPC基本原理是在线滚动地求解一个有限时域开环优化问题,以实现最优控制算法。将式(6)转换为以控制量u为输入的离散状态空间表达式,即
(10)
则下一时刻ζ(k+1)表达式为
(11)
结合式(6)和式(11)可得
ζ(k+1)=Akζ(k)+BkΔu(k)
(12)
其中
式中 Ak、Bk——系统动态矩阵
Δu(k)——k时刻控制增量
n——状态量维度
m——控制量维度
I——单位矩阵 O——零矩阵
令Np为预测步长,Nc为控制步长,且Nc≤Np。根据式(12)预测系统在时域[k+1,k+Np]的状态和输出,得到[k,k+Nc-1]控制序列。系统预测输出可表示为
Y(k)=ψζ(k)+ΘΔU(k)
(13)
MPC滚动优化求解过程是一个根据状态误差进行二次规划过程,定义代价函数为
(14)
式中 Q——输出权重矩阵
R——控制增量权重矩阵
ρI——松弛项权重系数
εT——松弛因子
将性能指标函数表示成向量形式
(15)
其中
Q′=INp⊗Q R′=RNp⊗R
式中 ⊗——克罗内积运算
设置控制量与控制增量约束,保证农机安全作业,即
(16)
基础APO算法迭代时间无法满足农机路径跟踪实时性要求,为解决此问题,对APO算法进行改进(C-APO):采用拉丁超立方抽样(LHS)代替传统随机初始化,确保种群均匀分布,提升效率和覆盖范围[25]。策略型停止及记忆优化:引入早停机制和适应度记忆,通过设定阈值自动停止迭代,优化控制参数,实现全局路径跟踪优化。
2.2.1 自适应函数及初始化种群
设
根据式(9)设计C-APO目标优化函数
(17)
式中 w1、w2、w3——权重
Δv(k)——速度变化量,m/s
Δδf——前轮转角变化量,rad
基础北极海鹦算法使用随机采样初始化种群,效率较低。采用LHS代替随机采样,以均匀分布种群并减少迭代次数,计算式为
(18)
式中 
第i个北极海鹦位置信息
ub、lb——种群上界和下界
NF——种群个体数量
在初始化种群时,计算每个个体适应度并存储在记忆中,避免重复计算适应度,计算式为
(19)
2.2.2 探索阶段
北极海鹦群体合作行为启发了算法,通过引入Levy飞行和速度因子机制,增强了摆脱局部最优解的能力,并加快了收敛速度,计算式为
(20)
式中 
飞行搜索后位置信息
R1——0到NF-1之间随机整数
总体范围内随机候选解,不包括i
G(St)——Levy飞行系数
St——维度
ω——正态标准分布随机数
Rand——随机数
引入速度系数SV模拟北极海鹦俯冲行为,通过调整位移加快捕食过程。计算式为
(21)
式中
速度因子作用下探索后个体位置
将2个阶段候选位置合并,按适应度排序得到新解决方案。计算式为
(22)
式中 
探索阶段最终种群
New——根据适应度选择新种群
sort——选择种群
2.2.3 开发阶段
开发阶段,通过协同和自适应因子引导算法利用最优解,优化搜索方向,即
(23)
式中 
随机选择的候选方案
新的位置信息
μ——合作因子
当Rand≥0.6时,海鹦与其他个体合作觅食;当Rand<0.6时,海鹦跟随并加入更有利的群体。资源耗尽时,海鹦调整姿势,使用自适应随机性提高搜索灵活性,即
(24)
式中 TD——迭代总数
fy——随机因子
t——当前迭代次数
觅食过程中,避开捕食者策略模拟北极海鹦发现危险时,通过特殊叫声警告其他海鹦。并利用Levy飞行迅速改变位置,即
(25)
式中 l——介于0～1之间的随机数
躲避天敌后位置
当Rand≥0.6时,采用迅速躲避模式;Rand<0.6时,采用逐渐回避模式。算法将3个策略候选位置合并,形成新最优解集,即
(26)
为减少迭代次数,在APO算法中引入早停机制,当适应度长时间无显著变化时,自动停止迭代,即
(27)
式中 χ——适应度阈值
APO算法通过引入行为转移系数BD,实现从全局搜索到本地利用的平滑过渡,计算式为
(28)
通过上述对北极海鹦优化算法的改进,实现对MPC元参数全局优化。
为降低外部噪声影响并提升路径平滑度,设计了优化函数并融入MPC算法,主要包括:
(1)路径平滑性:最小化转向角变化率,确保路径平滑,减少地面扰动,即
Jsteering=
(Δuy(k))2dt
(29)
式中 Δuy(k)——最小化转向角变化率,rad/s
(2)鲁棒性:提高系统对传感器噪声和环境不确定性的抗干扰能力,实时调整控制量。通过设定比重参数ζx、ζy、ζφ,调整位置和航向偏差,以优化路径跟踪和增强抗干扰能力,即
Jrobust=
[ζx(Δx(k))2+ζy(Δy(k))2+
ζφ(Δφ(k))2]dk
(30)
式中 Δx(k)——x坐标增量,m
Δy(k)——y坐标增量,m
Δφ(k)——航向角增量,rad
用ε-约束算法转换问题为约束,表达式为
(31)
根据式(31)得到帕累托解集[26],利用权重法选取最优解用于最终控制。
采用事件触发的热启动技术减少MPC的优化时间,利用历史数据初始化每次迭代,避免从零开始计算,从而加快迭代过程,即
Δuinit(k)=Δupre(k)
(32)
热启动技术虽能加快优化速度,但在系统剧烈变化时会降低精度,因此需要在实时性和精度之间找到平衡。为解决此问题,引入事件触发机制。当路径曲率较大时,系统变化剧烈,放弃热启动并重新计算控制增量;当曲率小于阈值时,继续使用热启动。
为保证实时纠正状态误差,设定综合误差评判标准Etotal。当误差低于阈值时启用热启动,超过阈值时立即停止,以保持系统精度和稳定性,即
(33)
式中 γ1、γ2——权重
算法实现步骤如图2所示,具体描述如下:通过路径规划算法生成参考路径,并计算每个路径点参考航向角和曲率。设置农机轴距L与MPC控制参数。设计如式(18)～(28)策略改进型北极海鹦元参数调控器。采集当前时刻农机的位置、航向角和速度,计算跟踪误差与航向误差。根据当前误差,由式(18)～(28)的北极海鹦算法计算MPC元参数;根据式(10)～(16)计算MPC预测过程,判断激发条件是否启动热启动算法。根据式(29)～(31)使用多目标辅助优化算法计算控制增量的帕累托解集。根据当前状态,取最合适的解更新状态。重复流程,直至作业结束。
图2 算法流程图
Fig.2 Algorithm flowchart
以沃得奥龙DX1404型拖拉机(轴距L=2.33 m,前轮最大转角±0.47 rad)为模拟对象,使用路径规划算法生成西华大学1号农田离线路径,包括直线和灯泡形转向路径。通过逐步对比试验,验证传统MPC、C-APO改进的MPC(A-MPC)和提出的CA-MPC控制方案的可行性,并引入白噪声和粉红噪声。评判指标采用文献[27]横向偏差和航向角增量。其中航向角增量用于衡量行驶中方向调整的幅度,越小表明路径更平滑,算法更稳定。设定农机速度v为1 m/s进行评估。MPC控制器在线调整预测步长Np、控制步长Nc以及权重矩阵Q和R,控制量最值为±0.47 rad,控制增量最值为±0.3 rad,采样时间为0.1 s。
图3、4为MPC控制器元参数调整结果。图3中,Q和R中某一元素增大时,其余相应减小,反映农机状态变化对权重矩阵的影响。图4中,随着预测步长调整,控制步长也同步变化,二者趋势相似。该调整有助于根据农机实时状态优化控制,提升路径跟踪精度和稳定性。
图3 权重矩阵对角线数值变化曲线
Fig.3 Variation of diagonal values in weight matrix
图4 步长变化曲线
Fig.4 Step length variation charts
仿真结果如图5～7所示。传统MPC算法在全路径模拟和外部干扰下最大误差为0.39 m,平均误差为0.11 m,标准差为0.08 m;引入C-APO优化元参数后的A-MPC,最大误差降至0.21 m,平均误差降至0.05 m,标准差为0.04 m。结果表明,在适应性和精度上A-MPC明显优于传统MPC,误差减少约54%,最大偏移量降低0.18 m,验证了C-APO优化效果。
图5 跟踪效果
Fig.5 Tracking rendering
图6 跟踪误差曲线
Fig.6 Tracking error chart
经多目标辅助优化后,CA-MPC 算法将跟踪误差显著降低,绝对平均误差为 0.02 m,最大偏移量仅为0.06 m,标准差为 0.01 m,证明了多目标辅助优化有效减少了外部干扰。再通过航向角增量进行验证(图7和表1)。传统MPC航向增量较参考路径增加0.161 rad,A-MPC算法则加剧了航向偏移,最大值增加0.53 rad。而CA-MPC算法更接近参考路径,航向增量仅增加0.006 rad,且在直线和转向作业时均优于前2种算法,进一步证明了多目标优化的有效性。
表1 路径平滑度数据
Tab.1 Path smoothness data rad
算法最小值最大值平均值标准差参考路径00.3540.0250.064MPC0.0821.0340.1860.157AMPC0.0541.5630.1850.173CAMPC0.0210.3670.0310.074
图7 路径平滑度
Fig.7 Path smoothness chart
为验证算法稳定性和可靠性,图8为3种控制方案精度数据集分布情况、局部特征和偏斜程度。精度评估指标包括最小值(Min)、最大值(Max)、第一四分位数(Q1)、中位数(Median)、第三四分位数(Q3)和四分位距(IQR)。
图8 误差箱式图
Fig.8 Error box diagram
MPC算法中位数为0.1,误差较小但波动大,受离群值影响明显,尤其在干扰下易出现较大误差。A-MPC算法最大值小于MPC,极端误差减少,性能更稳定,Q1和Q3范围适中,中位数为0.05,略高于CA-MPC。CA-MPC算法中位数为0.02,最大值仅为0.06,误差范围最小,IQR为0.02,显示出最小波动和最佳稳定性,整体表现优异。
为验证改进C-APO算法及事件触发热启动技术的有效性,设计了5组运行时间对照试验,如图9所示,分别包括:传统MPC、基础APO优化的MPC (PA-MPC)、C-APO优化的MPC (A-MPC)、多目标优化但无热启动的A-MPC (PCA-MPC) 和最终优化的CA-MPC。对照试验分别统计了每种算法平均运行时长和总运行时长。
图9 运行时长
Fig.9 Running time
试验结果表明,传统MPC算法平均运行时长为0.054 s,总时长为108.313 s。引入基础APO算法后,平均运行时长增至0.088 s,总时长增加68.162 s。采用C-APO算法后,平均运行时长缩短至0.073 s,总时长减少约17%,验证了其改进效果。图9显示,A-MPC与多目标优化结合后的PCA-MPC算法,平均运行时长增至0.096 s,总时长为192.365 s,比传统MPC增长78%,无法满足实时性要求。然而,加入事件触发热启动技术后,平均运行时长降至0.061 s,仅比传统MPC多0.007 s,证明该技术显著提高了实时性。
为验证CA-MPC的有效性,以沃得奥龙DX1404型拖拉机为测试对象(图10),在西华大学1号农田(直线130 m,曲线路径120 m),分别以0.5、1.0、1.5 m/s进行3次试验,选取横向误差波动最大值作为最终结果,比较传统MPC和CA-MPC算法的路径跟踪效果。图11～13为2种算法在不同速度下效果。
图10 测试平台
Fig.10 Test platform
图11 MPC算法跟踪效果
Fig.11 MPC algorithm tracking performance
图12 CA-MPC算法跟踪效果
Fig.12 CA-MPC algorithm tracking performance
图13 跟踪误差对比
Fig.13 Comparison of tracking errors
在速度为0.5、1.0、1.5 m/s的条件下,传统MPC算法,最大误差分别为0.34、0.5、0.7 m,平均误差分别为0.12、0.14、0.21 m,标准差分别为0.06、0.08、0.11 m。CA-MPC算法最大误差分别为0.17、0.21、0.33 m,平均误差分别为0.08、0.09、0.13 m,标准差分别为0.04、0.05、0.07 m。结果表明,在不同速度下CA-MPC 算法跟踪误差明显减少,特别是在高速度下,表现出更强的控制精度。相比传统 MPC 在高速度下最大误差达到 0.7 m,CA-MPC 最大误差仅为 0.33 m,且平均误差始终低于 0.15 m,显示出更平稳的跟踪表现。CA-MPC 在应对路径变化和外部干扰时展现了更强的鲁棒性和适应性,验证了其在不同速度下的稳定性和精度优势。
为验证不同速度下外部干扰抑制效果,由图14及表2中的航向角增量结果可得,当速度为0.5 m/s时,CA-MPC平均航向角增量为0.09 rad,比传统MPC减少约40%;当速度为1.0 m/s时,减少约51%,为0.13 rad。当速度为1.5 m/s时,CA-MPC的航向角增量略增至0.34 rad,但平滑度仍比传统MPC提升约10%。结果表明,CA-MPC在不同速度下有效减少误差,并显著提升路径跟踪平滑度。
表2 实地跟踪路径航向角增量统计值
Tab.2 Field tracking path heading angle changes rad
速度/算法最大值最小值平均值标准差(m·s-1)参考路径0.3400.030.010.5MPC2.080.100.150.08CAMPC0.690.010.090.011.0MPC2.370.050.270.08CAMPC1.540.040.130.011.5MPC2.840.070.380.07CAMPC2.760.060.340.03
图14 MPC算法跟踪效果
Fig.14 MPC algorithm tracking performance
(1)利用策略改进型北极海鹦算法优化了MPC算法的元参数,提高了MPC算法适应性的同时减少了北极海鹦算法的计算量,提高了路径跟踪的实时性。并将多目标辅助优化算法融入MPC算法中,与MPC的代价函数进行配合优化,多策略调整农机的控制量,使其更加稳定。为进一步减少MPC计算量,引入了事件触发的热启动技术,在保证精度的同时减少了MPC的计算时间。
(2)仿真结果表明,引入北极海鹦算法的传统MPC显著减少了跟踪误差,绝对平均误差从0.11 m降至0.05 m,但仍未解决外部干扰引起的误差问题。结合多目标优化后,误差进一步减至0.02 m,路径平滑度提升约83%。然而,未经优化的北极海鹦和多目标优化算法使控制器计算时间显著增加,单次运行时长接近0.1 s,无法满足实时性要求。改进后控制器在计算时间和总运行时长上有所改善,单次运行时长降至0.061 s,接近原始MPC算法。
(3)实地试验结果表明,当速度为0.5、1.0、1.5 m/s时,提出的算法能够控制农机更加贴近参考路径,对路径的适应性也有较大提升。随着速度的提升,CA-MPC算法误差和跟踪路径曲折度也随之增大,但相较于传统MPC算法,误差和路径曲折度增幅减少,能够较好地满足实际作业要求。
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